निश्चित समाकल $\int_{-1/2}^{1/2} (\sin^{-1}(3x - 4x^3) - \cos^{-1}(4x^3 - 3x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{-1/2}^{1/2} \left( [x] + \log \left( \frac{1+x}{1-x} \right) \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है):

यदि $f(x) = \cos(\tan^{-1}x)$ है,तो समाकलन $\int_{0}^{1} x f''(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $m, l, r, s, n$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $9 > m > l > s > n > r > 2$ और $\int_{-2 \pi}^{2 \pi} \sin ^m x \cos ^n x \, dx = 4 \int_0^\pi \sin ^m x \cos ^n x \, dx$, $\int_{-\pi}^\pi \sin ^r x \cos ^s x \, dx = 4 \int_0^{\pi / 2} \sin ^r x \cos ^s x \, dx$ और $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^l x \cos ^m x \, dx = 0$ है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{2 x}{1+\cos ^{2} x} d x=$

$\int_0^{\pi / 2} |\sin t - \cos t| \, dt =$